Question

已知矩形ABCD中，AB=

2

，BC=1，现沿对角线BD折成二面角C-BD-A，使AC=1（如图）．
（I）求证：DA⊥面ABC；
（II）求二面角C-BD-A平面角的大小．

Answer 1

分析：（I）由已知AC=AD=1，DC=AB=

2

可得AC⊥AD①AD⊥AB②，由①②根据线面垂直的判定定理可证DA⊥面ABC
（II）（法一：三垂线法）由（I）可得平面ABC⊥平面ABD．取AB中点M，则面面垂直的性质定理可得CM⊥平面ABD，作MN⊥BD，从而可用三垂线法作出二面角的平面角∠CMN，再直角三角形△CMN中求解
（法二：定义法）同法一可得CM⊥平面ABD，由已知AB⊥AC，考虑取BD的中点H，则可得MN∥AD，从而有MH⊥AB，然后利用空间向量的方法：分别以AB，MH，MC为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设平面BCD的一个法向量

n

，平面ABD的一个法向量为

m

，代入公式cosθ=

n • m

| n | |  m|

求解即可．

解答：解：（I）∵DA=AC=1，DC=

2

，
∴AC²+AD²=CD²，∴DA⊥AC．（3分）
又∵DA⊥AB，∴AB∩AC=A∴DA⊥平面ABC．（6分）
（II）方法一：取AB中点M，连CM，
过M作MN⊥BD交BD于N，
连CN．∵CA=CB=1，∴CM⊥AB，
∵DA?平面ABD，DA⊥平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ABD．（8分）
∴CM⊥平面ABD，∴CM⊥BD．
又∵MN⊥BD，MN∩CM=M
∴BD⊥平面CMN，
∴∠CNM为二面角C-BD-A的平面角．（10分）
∴MN=

2 2

3

•1=

6

6

，CM=

2

2

，
tan∠CNM=

CM

MN

=

3

，∴∠CNM=60°，
故二面角C-BD-A平面角的度数为60°．（12分）

方法二：取AB中点M，连CM．
∵AC=AB=1，∴CM⊥AB．
又∵平面ABC⊥平面ABD，∴CM⊥平面ABD．
取BD中点H，∴MH∥AD．
∵AD⊥AB，∴MH⊥AB．
分别以AB，MH，MC为x，y，z轴建立空间直角坐标系．（6分）
得B(

2

2

，0，0)，H(0，

1

2

，0)，C(0，0，

2

2

)，
∴

BH

=(-

2

2

，

1

2

，0)，

BC

=(-

2

2

，0，

2

2

)．（8分）
设平面BCD的法向量为

n

=(x，y，z)，
∴

BH • n =0 BC • n =0

?

- 2 2 x+ 1 2 y=0 - 2 2 x+ 2 2 z=0

?

n

=(1，

2

，1)．（10分）
又∵平面ABD的法向量为

m

=(0，0，1)，
∴cos＜

n

，

m

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1

2

显然二面角C-BD-A为锐角，所以它的大小为60°．（12分）

点评：本小题主要考查空间线面关系中的垂直关系：线面垂直的判定与性质定理的综合运用、二面角的度量：二面角的平面角的作法①三垂线法，②定义法，利用空间向量的知识解决几何中的量，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力