Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)与直线x+y-1=0相交于P、Q两点，且OP⊥OQ（O为原点），
（1）求

1

a2

+

1

b2

的值；
（2）若椭圆离心率在[

1

3

，

1

2

]上变化时，求椭圆长轴的取值范围．

Answer 1

分析：（1）联立方程组

b2x2+a2y2=a2b2 x+y-1=0

得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0，设P（x₁y₁）、Q（x₂y₂），由OP⊥OQ，知x₁x₂+y₁y₂=0，由y₁=1-x₁y₂=1-x₂，知2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，由此能导出

1

a2

+

1

b2

=2．
（2）由e=

c

a

，知e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

即b2=a2-a2e2，由

1

a2

+

1

a2-a2e2

=2，知a2=

1

2

(1+

1

1-e2

)由此能求出椭圆长轴的取值范围．

解答：解：（1）联立方程组

b2x2+a2y2=a2b2 x+y-1=0

得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0
设P（x₁y₁）、Q（x₂y₂），
∵OP⊥OQ∴

y1

x1

•

y2

x2

=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0
∵y₁=1-x₁y₂=1-x₂
∴x₁x₂+（1-x₁）（1-x₂）=0，即2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0
将x1+x2=

2a2

a2+b2

，x1x2=

a2(1-b2)

a2+b2

代入上式得：2•

a2(1-b2)

a2+b2

-

2a2

a2+b2

+1=0
∴a²+b²=2a²b²故

1

a2

+

1

b2

=2
（2）∵e=

c

a

，∴e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

即b2=a2-a2e2
由（1）知

1

a2

+

1

a2-a2e2

=2，∴a2=

1

2

(1+

1

1-e2

)
∵

1

3

≤e≤

1

2

，∴

1

3

≤e2≤

1

2

，

1

2

≤1-e2≤

2

3

，
∴

3

2

≤

1

1-e2

≤2，∴

5

4

≤a2≤

3

2

又∵a＞0，∴

5

2

≤a≤

6

2

故椭圆长轴的取值范围是[

5

，

6

]．

点评：本题考查椭圆和直线 的位置关系及其应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．