Question

已知数列{a_n}：

1

2

，

1

3

+

2

3

，

1

4

+

2

4

+

3

4

，…，

1

n+1

+

2

n+1

+…+

n

n+1

，…．设bn=

1

anan+2

，则数列{b_n}的前n项和为

3-

2

n+1

-

2

n+2

．

Answer 1

分析：先化简a_n，然后可得b_n，拆项后利用裂项相消法可求得结果．

解答：解：∵a_n=

1

n+1

+

2

n+1

+…+

n

n+1

=

n(n+1) 2

n+1

=

n

2

，
∴b_n=

1

n 2 • n+2 2

=

4

n(n+2)

=2（

1

n

-

1

n+2

），
∴数列{b_n}的前n项和S_n=1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+

1

4

-

1

6

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

=2（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）
=2（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=3-

2

n+1

-

2

n+2

故答案3-

2

n+1

-

2

n+2

．

点评：本题考查数列的求和问题，属中档题，裂项相消法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．