Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2cos(A+B)+cos2C=-

3

2

，c=

39

，且a+b=9．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知及诱导公式、二倍角公式可求cosC，进而可求C
（Ⅱ）由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，结合a+b=9，可求ab，代入三角形的面积公式S=

1

2

absinC可求

解答：解：（Ⅰ）由已知得-2cosC+2cos2C-1=-

3

2

，…（3分）
所以4cos²C-4cosC+1=0，解得cosC=

1

2

，所以C=60°．    …（6分）
（Ⅱ）由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，即39=a²+b²-ab①，
又a+b=9，所以a²+b²+2ab=81②，由①②得ab=14，…（10分）
所以△ABC的面积S=

1

2

absinC=

1

2

×14×

3

2

=

7 3

2

．   …（13分）

点评：本题主要考查了三角形的诱导公式、二倍角公式及余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，求解的关键是公式的 灵活应用