Question

设k∈R，函数f(x)=

1 1-x x＜1 - x-1 x≥1

，F（x）=f（x）-kx，x∈R，试讨论函数F（x）的单调性．

Answer 1

分析：先求出F（x）的解析式，然后求出导函数，讨论x与1的大小，然后分别讨论k与0的大小，根据导函数F′（x）的符号得到函数F（x）的单调区间．

解答：解：
F(x)=f(x)-kx=

1 1-x -kx x＜1 - x-1 -kx x≥1

F′(x)=

1 (1-x)2 -k x＜1 - 1 2 x-1 -k x≥1

对于F(x)=

1

1-x

-kx(x＜1)，
当k≤0时，函数F（x）在（-∞，1）上是增函数；
当k＞0时，函数F（x）在(-∞，1-

1

k

)上是减函数，在(1-

1

k

，1)上是增函数；
对于F(x)=-

1

2 x-1

-k(x≥1)，
当k≥0时，函数F（x）在[1，+∞）上是减函数；
当k＜0时，函数F（x）在[1，1+

1

4k2

)上是减函数，在[1+

1

4k2

，+∞)上是增函数．

点评：本题主要考查了分段函数的单调性，导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，以及分类讨论的数学思想，属于中档题．