Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过点（0，1），过右焦点F且不与x轴重合的动直线L交椭圆于A，C两点，当动直线L的斜率为2时，坐标原点O到L的距离为

2 5

5

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过F的另一直线交椭圆于B，D两点，且AC⊥BD，当四边形ABCD的面积S=

16

9

时，求直线L的方程．

Answer 1

分析：（1）先设F（c，0）表示出直线L的方程，再由点到直线的距离求出c的值，将点（0，1）代入椭圆可求出b的值，最后根据a²=b²+c²得a的值，进而可得到椭圆方程．
（2）先设直线L的方程为y=k（x-1）、点A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），然后联立直线与椭圆方程消去y得到关于x的一元二次方程，进而得到x₁+x₂、x₁x₂的表达式，代入|AC|得到关于k的表达式，再由AC⊥BD表示出直线BD，同理可得到|BD|的表达式，最后根据S=

1

2

|AC||BD|=

16

9

可求出k的值，确定直线L的方程．

解答：解：（Ⅰ）设F（c，0），则直线L的方程为2x-y-2c=0，
∵坐标原点O到L的距离为

2 5

5

，
∴

2c

5

=

2 5

5

，c=1．
∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1经过点（0，1），
∴

1

b2

=1，b=1，由a²=b²+c²得a²=2．
∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线L过点F（1，0），设其方程为y=k（x-1）（k≠0），点A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
解

x2 2 +y2=1 y=k(x-1)

得，（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0．
∴x1+x2=

4k2

2k2+1

，x1x2=

2k2-2

2k2+1

，
|AC|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=2

2

•

k2+1

2k2+1

（*）
∵过F的另一直线交椭圆于B，D两点，且AC⊥BD，k≠0，
∴直线BD的方程为y=-

1

k

（x-1）．
把（*）式中k换成-

1

k

，类比可得|BD|=2

2

•

k2+1

k2+2

，
∴四边形ABCD的面积S=

1

2

|AC||BD|=

4(k2+1)2

(k2+2)(2k2+1)

=

16

9

，
解得k=±1，∴直线L的方程为x-y-1=0或x+y-1=0．

点评：本题主要考查椭圆的基本性质和直线与椭圆的综合题．直线与圆锥曲线的综合题是高考的重点考查对象，要着重复习．