Question

设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=-f（x）．又当0≤x≤1时，f(x)=

1

2

x，则当-10≤x≤10，方程f(x)=-

1

2

的根的和为

-5

．

Answer 1

分析：由已知中函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=-f（x）．我们可得函数f（x）是以4为周期的周期函数，进而根据当0≤x≤1时，f(x)=

1

2

x，可得函数在-10≤x≤10时的图象，数形结合可得答案．

解答：解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x）
又∵f（x+2）=-f（x）．
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x）．
即函数f（x）是以4为周期的周期函数
又由当0≤x≤1时，f(x)=

1

2

x，
故函数在[-10，10]上的图象如下图所示

由图可得若f(x)=-

1

2

则x∈{-9，-5，-1，3，7}
故方程f(x)=-

1

2

的根的和为-9+（-5）+（-1）+3+7=-5
故答案为-5

点评：本题考查的知识点是函数的周期性，函数奇偶性的性质，其中根据已知条件画出函数在-10≤x≤10时的图象，是解答本题的关键．