Question

已知椭圆的离心率是，且经过点M（2，1）．直线与椭圆相交于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线MA，MB的斜率分别是k₁，k₂，求证k₁+k₂为定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用椭圆的离心率是，且经过点M（2，1），可求几何量，从而可求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，结合斜率公式，化简可得结论．
解答：（Ⅰ）解：∵椭圆的离心率是，且经过点M（2，1），
∴，，
∴椭圆方程为；
（Ⅱ）证明：直线方程代入椭圆方程，化简可得x²+2mx+2m²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-2m，x1x2=2m2-4，
∴k1+k2=+==
==0
即k₁+k₂为定值．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．