Question

已知奇函数函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），当x＞0时，f(x)=1-

1

x

（1）求f（-2）的值；
（2）当x＜0时，求f（x）的解析式；
（3）求证：函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）为奇函数，x＞0时，f(x)=1-

1

x

，能求出f（-2）．
（2）设x＜0，则-x＞0，故f(-x)=1-

1

-x

=1+

1

x

，再由函数f（x）为奇函数，能求出x＜0时，f（x）的解析式．
（3）任意0＜x₁＜x₂，由f（x₁）-f（x₂）=

x1-x2

x1x2

＜0，能证明f（x）在（0，+∞）上为增函数．

解答：解：（1）∵函数f（x）为奇函数，定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
x＞0时，f(x)=1-

1

x

∴f(-2)=-f(2)=-

1

2

…（4分）
（2）设x＜0，则-x＞0，
∴f(-x)=1-

1

-x

=1+

1

x

…（6分）
∵函数f（x）为奇函数
∴当x＜0时，f(x)=-f(-x)=-1-

1

x

…（9分）
（3）证明：任意0＜x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=-

1

x1

+1-（-

1

x2

+1）
=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

．
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴

x1-x2

x1x2

＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在（0，+∞）上为增函数．

点评：本题考查函数函数值的求法，考查函数解析式的求法，考查函数单调性的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．