题目内容
已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间距离为8,f(x)= f1(x)+ f2(x).
(Ⅰ) 求函数f (x)的表达式；
(Ⅱ) 证明:当a>3时,关于x的方程f (x)= f (a)有三个实数解.
解：(Ⅰ)由已知,设f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a=1, ∴f1(x)= x2.设f2(x)=
(k>0),它的图象与直线y=x的交点分别为A(
,)，B(－,－)
由
=8,得k=8,. ∴f2(x)=
.故f(x)=x2+.
(Ⅱ) （证法一）f(x)=f(a),得x2+=a2+
,
即=－x2+a2+.在同一坐标系内作出f2(x)=和
f3(x)= －x2+a2+的大致图象,其中f2(x)的图象是以坐
标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, f3(x)与的图象是以(0, a2+)为顶点,开口向下的抛物线.因此, f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点,即f(x)=f(a)有一个负数解.又∵f2(2)=4, f3(2)= －4+a2+，当a>3时,. f3(2)－f2(2)= a2+－8>0,当a>3时,在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2,f(2))在f2(x)图象的上方.f2(x)与f3(x)的图象在第一象限有两个交点,即f(x)=f(a)有两个正数解.因此,方程f(x)=f(a)有三个实数解.
练习册系列答案
永乾教育寒假作业快乐假期延边人民出版社系列答案
相关题目