Question

已知函数f（x）=

alnx

x+1

+

b

x

，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，f（x）＞

lnx

x-1

+

k

x

，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求出函数的导数；利用切线方程求出切线的斜率及切点；利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上，列出方程组，求出a，b值．
（II）将不等式变形，构造新函数，求出新函数的导数，对参数k分类讨论，判断出导函数的符号，得到函数的单调性，求出函数的最值，求出参数k的范围．

解答：解：由题意f（1）=1，即切点坐标是（1，1）
（Ⅰ）f′(x)=

a( x+1 x -lnx)

(x+1)2

-

b

x2

由于直线x+2y-3=0的斜率为-

1

2

，且过点（1，1），故

f(1)=1 f′(1)=- 1 2

即

b=1 a 2 -b=- 1 2

解得a=1，b=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=

lnx

x+1

+

1

x

，所以
f(x)-(

lnx

x-1

+

k

x

)=

1

1-x2

(2lnx+

(k-1)(x2-1)

x

）．
考虑函数h(x)=2lnx+

(k-1)(x2-1)

x

（x＞0），则
h′(x)=

(k-1)(x2+1)+2x

x2

．
（i）设k≤0，由h′(x)=

k(x2+1)- (x-1)2

x2

知，当x≠1时，h′（x）＜0．而h（1）=0，故
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，可得

1

1-x2

h(x)＞0；
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，可得

1

1-x2

h（x）＞0
从而当x＞0，且x≠1时，f（x）-（

lnx

x-1

+

k

x

）＞0，即f（x）＞

lnx

x-1

+

k

x

．
（ii）设0＜k＜1．由于当x∈（1，

1

1-k

）时，（k-1）（x²+1）+2x＞0，故h′（x）＞0，而
h（1）=0，故当x∈（1，

1

1-k

）时，h（x）＞0，可得

1

1-x2

h（x）＜0，与题设矛盾．
（iii）设k≥1．此时h′（x）＞0，而h（1）=0，故当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，可得

1

1-x2

h（x）＜0，与题设矛盾．
综合得，k的取值范围为（-∞，0]

点评：本题考查导数的几何意义：函数在切点处的导数值是切线的斜率、考查构造函数，通过导数研究函数的单调性，求出函数的最值、考查发了讨论的数学思想方法．