Question

如图,平面内的定点F到定直线l的距离为2,定点E满足:| |=2且EF⊥l于G,点Q是直线l上一动点,点M满足: =,点P满足: ∥,·=0.

(1)建立适当的直角坐标系，求动点P的轨迹方程；

(2)若经过点E的直线l₁与点P的轨迹交于相异两点A、B，令∠AFB=θ，当≤θ＜π时,求直线l₁的斜率k的取值范围.

Answer 1

解:(1)以FG的中点O为原点，以EF所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy,

设点P(x,y),则F(0,1),E(0,3),l:y=-1.

∵ =,∥,∴Q(x,-1),M(,0).

∵·=0,∴(-)×x+(-y)×(-2)=0,

即所求点P轨迹方程为x²=4y.

(2)设点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)(x₁≠x₂),设AF的斜率为k₁,BF的斜率为k₂,直线l₁的方程为y=kx+3,由得x²-4kx-12=0.∴x₁+x₂=4k,x₁x₂=-12

∴y₁y₂=y₁+y₂=k(x₁+x₂)+6=4k²+6.

∵=(x₁,y₁-1),=(x₂,y₂-1),

∴·=x₁x₂+(y₁-1)(y₂-1)=x₁x₂+y₁y₂-(y₁+y₂)+1=-12+9-4k²-6+1=-4k²-8.

又∵||·||=(y₁+1)(y₂+1)=y₁y₂+(y₁+y₂)+1=9+4k²+6+1=4k²+16.

Cosθ==由于≤θ＜π

∴-1＜Cosθ≤-,即－1＜-.

∴∴k²≥2.解得k≥或k≤-.

∴直线l₁斜率k的取值范围是｛k|k≥或k≤-｝.