Question

（2012•闵行区三模）已知椭圆T：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点依次为F₁，F₂，点M（0，2）是椭圆的一个顶点，

MF1

•

MF2

=0．
（1）求椭圆T的方程；
（2）设G是点F₁关于点F₂的对称点，在椭圆T上是否存在两点P、Q，使

PQ

=

PF1

+

PG

，若存在，求出这两点，若不存在，请说明理由；
（3）设经过点F₂的直线交椭圆T于R、S两点，线段RS的垂直平分线与y轴相交于一点T（0，y₀），求y₀的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知得b=2，由

MF1

•

MF2

=0可得c，根据a²=b²+c²可求得a；
（2）由（1）易求F₁、F₂、G的坐标，假设存在两点P、Q，使

PQ

=

PF1

+

PG

，则四边形PF₁QG是平行四边形，且点P、Q关于点F₂对称，进而可得PQ⊥x轴，联立方程组可解得两点P、Q坐标；
（3）当RS⊥x轴时，易知y₀=0；当RS与x轴不垂直时，可设直线RS的方程为y=k（x-2）（k≠0）．联立直线方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，设R（x₃，y₃），S（x₄，y₄），线段RS的中点为D（x_D，y_D），由韦达定理及中点坐标公式可求得D点坐标，利用点斜式可得线段RS的垂直平分线方程，令x=0可得y₀，按k＜0，k＞0两种情况利用基本不等式即可求得y₀的范围；

解答：解：（1）由已知可得 b=2，
设半焦距为c，则

MF1

•

MF2

=（-c，-2）•（c，-2）=-c²+4=0，得c²=4，
所以a²=b²+c²=8，
所求椭圆方程为

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）由（1）可求得F₁、F₂、G的坐标分别为（-2，0）、（2，0）、（6，0），
设在椭圆T上存在两点P、Q，使

PQ

=

PF1

+

PG

，则四边形PF₁QG是平行四边形，且点P、Q关于点F₂对称；  
由椭圆的对称性可知，PQ⊥x轴，且PQ过点F₂，解

x=2 x2+2y2=8

得：

x=2 y=± 2

，
所以在椭圆T上存在两点P（2，

2

）、Q（2，-

2

），使

PQ

=

PF1

+

PG

．
（3）当RS⊥x轴时，显然y₀=0．
当RS与x轴不垂直时，可设直线RS的方程为y=k（x-2）（k≠0）．
由

y=k(x-2) x2+2y2=8

消去y整理得，（1+2k²）x²-8k²x+8（k²-1）=0．
设R（x₃，y₃），S（x₄，y₄），线段RS的中点为D（x_D，y_D），则 x₃+x₄=

8k2

1+2k2

．
所以xD=

x3+x4

2

=

4k2

1+2k2

，y_D=k（x_D-2）=

-2k

1+2k2

．
线段RS的垂直平分线方程为y+

2k

1+2k2

=-

1

k

（x-

4k2

1+2k2

）．
在上述方程中令x=0，得y0=

2k

1+2k2

=

2

1 k +2k

．
当k＜0时，

1

k

+2k≤-2

2

，所以-

2

2

≤y₀＜0；当k＞0时，

1

k

+2k≥2

2

，0＜y₀≤

2

2

．
综上，y₀的取值范围是[-

2

2

，

2

2

]．

点评：本题考查直线方程、椭圆方程及其位置关系，考查分类讨论思想，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力．