题目内容

已知函数f（x）=ax²-4bx+2alnx（a，b∈R）
（I）若函数y=f（x）存在极大值和极小值，求 $数学公式$ 的取值范围；
（II）设m，n分别为f（x）的极大值和极小值，若存在实数，b∈（ $数学公式$ a， $数学公式$ a），使得m-n=1，求a的取值范围．（e为自然对数的底）

解：（I）f′（x）=2ax-4b+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，其中x＞0，
由于函数y=f（x）存在极大值和极小值，
故方程f′（x）=0有两个不等的正实数根，即2ax²-4bx+2a=0有两个不等的正实数根，记为x₁，x₂，显然a≠0，
所以 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ；
（II）由b∈（ $\text{[math]}$ a， $\text{[math]}$ a）得a＞0，且 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
由（I）知f（x）存在极大值和极小值，
设f′（x）=0的两根为x₁，x₂（0＜x₁＜x₂），则f（x）在（0，x₁）上递增，在（x₁，x₂）上递减，在（x₂，+∞）上递增，
所以m=f（x₁），n=f（x₂），
因为x₁x₂=1，所以0＜x₁＜1＜x₂，而且 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
由于函数y=x+ $\text{[math]}$ 在（0，1）上递减，所以 $\text{[math]}$ ，
又由于 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，
所以m-n=f（x₁）-f（x₂）
= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +4bx₂-2alnx₂
= $\text{[math]}$ +2a（lnx₁-lnx₂）
=-a（ $\text{[math]}$ ）+2aln $\text{[math]}$ ，
令t= $\text{[math]}$ ，则m-n=-a（t- $\text{[math]}$ ）+2alnt，令h（t）=-（t- $\text{[math]}$ ）+2lnt（ $\text{[math]}$ ），
所以h′（t）=-1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ≤0，所以h（t）在（ $\text{[math]}$ ）上单调递减，所以e-e^-1-2＜h（t）＜e²-e^-2-4，
由m-n=ah（t）=1，知a= $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．
分析：（I）由于定义域为（0，+∞）且y=f（x）存在极大值、极小值，所以f′（x）=0有两个不等的正实数根，从而可转化为二次方程根的分布问题，借助判别式、韦达定理可得不等式组，由此可得 $\text{[math]}$ 的取值范围；
（II）由b∈（ $\text{[math]}$ a， $\text{[math]}$ a）得a＞0，且 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），由（I）知f（x）存在极大值和极小值，设f′（x）=0的两根为x₁，x₂（0＜x₁＜x₂），则f（x）在（0，x₁）上递增，在（x₁，x₂）上递减，在（x₂，+∞）上递增，所以m=f（x₁），n=f（x₂），根据x₁x₂=1可把m-n表示为关于x₁，a的表达式，且表达式为1，借助x₁范围可得a的范围；
点评：本题考查利用导数研究函数的极值及函数的单调性，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，本题综合性强、计算量大，能力要求高．