题目内容
如图,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为直角梯形,AD∥BC且AD＞BC,∠DAB=∠ABC=90°,PA=
,AB=BC=1,AD=2.M为PC的中点.
(1)求证:AM⊥CD;
(2)求二面角M-AD-C的大小.
(1)证明:取AC的中点H,连MH.
∵MH∥PA,∴MH⊥平面ABCD.∴AC是AM在平面ABCD内的射影.
在△ACD中,AC=,AD=2,∠DAC=45°,∴AC⊥CD.
∴由三垂线定理得AM⊥CD.
(2)解:过H作HN⊥AD交AD于N,连MN.由三垂线定理得MN⊥AD,∴∠MNH就为所求的二面角的平面角.
∵在Rt△ANH中,AH=
,∠HAN=45°,∴HN=
.
∴在Rt△MHN中,tan∠MNH=
=
.∴二面角M-AD-C的大小为60°.
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