Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设

m

=（1，1），

n

=（-cosA，sinA），记f（A）=

m

•

n

．
（1）求f（A）的取值范围；
（2）若

m

与

n

的夹角为

π

4

，C=

π

3

，c=

6

，求b的值．

Answer 1

分析：（1）由条件利用两个向量的数量及公示求得f（A）=

m

•

n

=

2

sin（A-

π

4

）．再根据A的范围，结合正弦函数的定义域和值域求得f（A）的取值范围．
（2）根据

m

与

n

的夹角为

π

4

，求得A的值，再根据C=

π

3

，求得B的值，再利用正弦定理

c

sinC

=

b

sinB

求得b的值．

解答：解：（1）∵

m

=（1，1），

n

=（-cosA，sinA），
∴f（A）=

m

•

n

=-cosA+sinA=

2

sin（A-

π

4

）．
∵0＜A＜π，∴-

π

4

＜A-

π

4

＜

3π

4

，∴-

2

2

＜sin（A-

π

4

）≤1，
则f（A）的取值范围是（-1，

2

]．
（2）∵

m

与

n

的夹角为

π

4

，

m

=（1，1），

n

=（-cosA，sinA），
∴

m

•

n

=|

m

|×|

n

|×cos

π

4

=

2

2

，即-cosA+sinA=

2

sin（A-

π

4

）=

2

2

，
∴sin（A-

π

4

）=

1

2

，∴A-

π

4

=

π

6

，或

5π

6

（舍去），∴A=

5π

12

．
∵C=

π

3

，∴B=

π

4

，∵sinB=

2

2

，sinC=

3

2

，c=

6

，
∴由正弦定理

c

sinC

=

b

sinB

得：b=

csinB

sinC

=

6 × 2 2

3 2

=2．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，正弦函数的定义域和值域，正弦定理的应用，属于中档题．