题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$
（1）当 $数学公式$ 时，求f（x）的极值点；
（2）若f（x）在f′（x）的单调区间上也是单调的，求实数a的范围．

解：（1）当 $\text{[math]}$ 时，f（x）= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ lnx+x （x＞0）
由f′（x）=x- $\text{[math]}$ +1= $\text{[math]}$ =0，可得x₁= $\text{[math]}$ ，x₂= $\text{[math]}$ …2′
当（0， $\text{[math]}$ ）时，f′（x）＜0，函数单调减，当（ $\text{[math]}$ ，+∞）时，f′（x）＞0，函数单调增…3′
∴f（x）在x= $\text{[math]}$ 时取极小值…4′
（2）f′（x）= $\text{[math]}$ （x＞0）…5′
令g（x）=x²-2ax+ $\text{[math]}$ a²+ $\text{[math]}$ a，△=4a²-3a²-2a=a²-2a，设g（x）=0的两根x₁，x₂（x₁＜x₂）…7′
1°、当△≤0时，即0≤a≤2，f′（x）≥0，∴f（x）单调递增，满足题意…9′
2°、当△＞0时即a＜0或a＞2时
①若x₁＜0＜x₂，则 $\text{[math]}$ a²+ $\text{[math]}$ a＜0 即- $\text{[math]}$ ＜a＜0时，f（x）在（0，x₂）上单调减，（x₂，+∞上单调增
f′（x）=x+ $\text{[math]}$ -2a，f″（x）=1- $\text{[math]}$ ≥0，∴f′（x）在（0，+∞）单调增，不合题意…11′
②若x₁＜x₂＜0，则 $\text{[math]}$ ，即a≤- $\text{[math]}$ 时，f（x）在（0，+∞）上单调增，满足题意．…13′
③若0＜x₁＜x₂，，则 $\text{[math]}$ ，即a＞2时，f（x）在（0，x₁）单调增，（x₁，x₂）单调减，（x₂，+∞）单调增，不合题意…15′
综上得a≤- $\text{[math]}$ 或0≤a≤2．…16′
分析：（1）当 $\text{[math]}$ 时，f（x）= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ lnx+x （x＞0），求导函数，确定函数的单调区间，即可求得f（x）的极值点；
（2）求导函数f′（x）= $\text{[math]}$ （x＞0），构造新函数g（x）=x²-2ax+ $\text{[math]}$ a²+ $\text{[math]}$ a，△=4a²-3a²-2a=a²-2a，设g（x）=0的两根x₁，x₂（x₁＜x₂），分类讨论，通过比较根的关系，根据f（x）在f′（x）的单调区间上也是单调的，即可确定实数a的范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．