Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，过椭圆C： 的左顶点A作直线l，与椭圆C和y轴正半轴分别交于点P，Q．

（1）若AP=PQ，求直线l的斜率；
（2）过原点O作直线l的平行线，与椭圆C交于点M，N，求证： 为定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：A（﹣2，0），设Q（0，m）（m＞0），

∵AP=PQ，∴P（﹣1， ），

代入椭圆方程得： =1，

解得m= ，

∴直线l的斜率为

（2）证明：设直线l的斜率为k（k＞ ），直线l的方程为：y=k（x+2），

令x=0得y=2k，即Q（0，2k），

∴AQ= =2 ．

联立方程组 ，消元得：（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0，

∴x1+x2= ，x1x2= ，

∴AP= = ．

∴APAQ= ．

直线MN的方程为y=kx，

联立方程组 ，得（1+4k2）x2﹣4=0，

设N（x3，y3），M（﹣x3，﹣y3），

则 ，

∴MN=2ON=2 =4 ，

∴ = = ．

∴ 为定值

【解析】（1）根据题意设出点Q的坐标，然后利用中点坐标公式将点P的坐标用点A、点Q的坐标表示，并代入椭圆方程求出点Q的坐标后即可求解；