题目内容
过抛物线y2=4x的焦点所作直线中，被抛物线截得弦长为8的直线有（ ）
| A、1条 | B、2条 | C、3条 | D、不确定 |
分析：设过焦点F（1，0）所作直线与抛物线相交于两点A，B．分类讨论：当AB⊥x轴时，|AB|=2p，直接验证即可；当直线AB的斜率存在时，设直线AB为：y=k（x-1），与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，利用弦长公式即可解出．
解答：解：设过焦点F（1，0）所作直线与抛物线相交于两点A，B．
①当AB⊥x轴时，|AB|=2p=4，不满足题意，应舍去．
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB为：y=k（x-1），
联立
，化为k2x2-（2k2+4）x+k2=0．
∴x1+x2=
．
∴|AB|=x1+x2+p．
∴
+2=8，化为k2=1，解得k=±1．
综上可知：过焦点且被抛物线截得弦长为8的直线有且只有两条：y=±（x-1）．
故选：B．
①当AB⊥x轴时，|AB|=2p=4，不满足题意，应舍去．
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB为：y=k（x-1），
联立
|
∴x1+x2=
| 2k2+4 |
| k2 |
∴|AB|=x1+x2+p．
∴
| 2k2+4 |
| k2 |
综上可知：过焦点且被抛物线截得弦长为8的直线有且只有两条：y=±（x-1）．
故选：B．
点评：本题考查了“焦点弦”的问题、弦长公式、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．
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| ||
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| ||
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