Question

已知数列{a_n}中，a₂=1，前n项和为S_n，且S_n=

n(an-a1)

2

（1）求a₁，a₃；
（2）求证：数列{a_n}为等差数列，并写出其通项公式．

Answer 1

分析：（1）在数列递推式中分别取n=1和n=3即可求解a₁，a₃；
（2）把（1）中求得的a₁代入S_n=

n(an-a1)

2

，得到Sn=

nan

2

，进一步得到Sn+1=

(n+1)an+1

2

，作差后得到（n-1）a_n+1=na_n，再进一步得到na_n+2=（n+1）a_n+1，作和后可证数列{a_n}为等差数列，并求得通项公式．

解答：（1）解：令n=1，则a₁=S₁=

1×(a1-a1)

2

=0，
又a₂=1，S3=a1+a2+a3=

3×(a3-a1)

2

，
∴0+1+a3=

3a3

2

，解得：a₃=2；
（2）证明：由S_n=

n(an-a1)

2

，即Sn=

nan

2

  ①，
得Sn+1=

(n+1)an+1

2

    ②，
②-①，得（n-1）a_n+1=na_n   ③，
于是na_n+2=（n+1）a_n+1  ④，
③+④，得na_n+2+na_n=2na_n+1，即a_n+2+a_n=2a_n+1．
又a₁=0，a₂=1，a₂-a₁=1，
∴数列{a_n}是以0为首项，1为公差的等差数列．
∴a_n=n-1．

点评：本题考查了数列递推式，训练了利用数列的前n项和求数列的通项公式，考查了等差关系的确定，是中档题．