Question

设、∈R，常数，定义运算“”：，定义运算“”： ；对于两点、，定义．

(Ⅰ)若≥0，求动点P( ,) 的轨迹；

（Ⅱ）已知直线与(Ⅰ)中轨迹交于、两点，若，试求的值；

(Ⅲ)  在(Ⅱ)中条件下，若直线不过原点且与轴交于点S，与轴交于点T，并且与(Ⅰ)中轨迹C交于不同的两点P、Q , 试求的取值范围．

Answer 1

解：(Ⅰ) 设 ,

则 ,

又由≥0 ,

可得P( ,) 的轨迹方程为，轨迹C为顶点在原点，焦点为的抛物线在轴上及第一象限的内的部分；       

(Ⅱ) 由已知可得  ,  整理得,                                           

由 ,得．∵，∴．

∴

 ,

解得或(舍) ．                   

 (Ⅲ) ∵ ，

∴

设直线 ,

依题意, ，则

分别过P、Q作PP­₁⊥ y轴，QQ₁⊥ y轴，垂足分别为P₁、Q₁，则

．

由  消去y得．

∴≥ ．

∵、取不相等的正数，∴取等的条件不成立，

 ∴的取值范围是（2，+）．