题目内容

已知函数f（x）=-1+2 $数学公式$ sinxcosx+2cos²x．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）求f（x）图象上与原点最近的对称中心的坐标；
（3）若角α，β的终边不共线，且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值．

解：（1）∵f（x）= $\text{[math]}$ sin2x+cos2x=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），由2kπ+ $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ （k∈Z），
求得kπ+ $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ （k∈Z），∴f（x）的单调递减区间为[kπ+ $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]（k∈Z）．
（2）由sin（2x+ $\text{[math]}$ ）=0，求得2x+ $\text{[math]}$ =kπ（k∈Z），即x= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ （k∈Z），
∴f（x）图象上与原点最近的对称中心的坐标是（- $\text{[math]}$ ，0）．
（3）若角α，β的终边不共线，且f（α）=f（β），
∴2sin（2α+ $\text{[math]}$ ）=2sin（2β+ $\text{[math]}$ ），
∴2α+ $\text{[math]}$ +2β+ $\text{[math]}$ =2kπ+π，k∈z，∴α+β=kπ+ $\text{[math]}$ ，故 tan（α+β ）= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），由2kπ+ $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ （k∈Z），求得x的范围，即可求得f（x）的单调递减区间．
（2）由sin（2x+ $\text{[math]}$ ）=0，求得2x+ $\text{[math]}$ =kπ（k∈Z），解得x的值，可得 f（x）图象上与原点最近的对称中心的坐标．
（3）由题意可得2sin（2α+ $\text{[math]}$ ）=2sin（2β+ $\text{[math]}$ ），故2α+ $\text{[math]}$ +2β+ $\text{[math]}$ =2kπ+π，k∈z，由此求得 α+β 的值，可得 tan（α+β ）的值．
点评：本题主要考查利用三角恒等变换进行化简求值，复合三角函数的单调性与对称性，属于中档题．