Question

设{a_n}是集合{2^t+2^s|0≤s＜t，且s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，即a₁=3，a₂=5，a₃=6，a₄=9，a₅=10，a₆=12，….

    （1）将数列{a_n}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：

   

 

    ①写出这个三角形数表的第四行，第五行各数；

    ②求a₁₀₀.

    （2）设｛b_n｝是集合{2^t+2^s+2^r|0≤r＜s＜t，且r，s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，已知b_k＝1 160，求k.

 

Answer 1

（1）①解：第四行17   18    20    24

    第五行　33    34    36    40    48

    ②解法一：设a₁₀₀=2^t0+2^s0.只需确定正整数t₀，s₀.

    数列｛a_n｝中小于2^t0的项构成的子集为{2^t+2^s|0≤s＜t＜t₀}.

    其元素个数为C²_t0=.

    依题意＜100，

    满足上式的最大整数t₀为14，所以取t₀＝14.

    因为100-C²₁₄=s₀+1，由此解得s₀=8.

    所以a₁₀₀=2¹⁴+2⁸=16640.

    解法二：n为a_n的下标，三角形数表第一行第一个元素下标为1，

    第二行第一个元素下标为+1=2，

    第三行第一个元素下标为+1=4，

    ……

    第t行第一个元素下标为+1，第t行第s个元素下标为+s，该元素等于2^t+2^s-1．

    据此判断a₁₀₀所在的行，因为＜100≤，所以a₁₀₀是三角形数表第14行的第9个元素，a₁₀₀=2¹⁴+2^9-1=16640.

    （2）解：b_k=1160=2¹⁰+2++2³，

    令M={c∈B|c＜1160}(其中B={2^t+2^s+2^r|0≤r＜s＜t})，

    因M={c∈B|c＜2¹⁰}∪{c∈B|2¹⁰＜c＜2¹⁰+2⁷}∪{c∈B|2¹⁰+2⁷＜c＜2¹⁰+2⁷+2³}.

    现在求M的元素个数：{c∈B|c＜2¹⁰}={2^t+2^s+2^r|0≤r＜s＜t＜10}，其元素个数为C³₁₀；

    {c∈B|2¹⁰＜c＜2¹⁰+2⁷}={2¹⁰+2^s+2^r|0≤r＜s＜7}.

其元素个数为C²₇；

    {c∈B|2¹⁰+2⁷＜c＜2¹⁰+2⁷+2³}={2¹⁰+2⁷+2^r|0≤r＜3}；

其元素个数为C¹₃；

    ∴k=+++1=145.