Question

若点P在曲线C₁：y²=8x上，点Q在曲线C：（x-2）²+y²=1上，点O为坐标原点，则

|PO|

|PQ|

的最大值是

4 7

7

．

Answer 1

分析：设P（x，y），利用点P在曲线C₁：y²=8x上，点Q在曲线C：（x-2）²+y²=1上，求出|PO|²=x²+y²=x²+8x，|PQ|min=x+2-1=x+1，由此能求出

|PO|

|PQ|

的最大值．

解答：解：设P（x，y），曲线C₁：y²=8x焦点F（2，0），
∵点P在曲线C₁：y²=8x上，点Q在曲线C：（x-2）²+y²=1上，
∴|PO|²=x²+y²=x²+8x，
∴|PQ|min=x+2-1=x+1，（抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，再减去半径）
∴

|PO|

|PQ|

=

x2+8x

x+1

=

x2+8x (x+1)2

，
设t=x+1，则x=t-1，
∴

x2+8x (x+1)2

=

(t-1)2+8(t-1) t2

=

1+ 6 t - 7 t2

，
设a=

1

t

，则

1+ 6 t - 7 t2

=

1+6a-7a2

=

-7(a- 3 7 )2+ 16 7

．
∴当a=

3

7

时，

1+6a-7a2

取得最大值

4 7

7

．
故

|PO|

|PQ|

的最大值是

4 7

7

．
故答案为：

4 7

7

．

点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合运用，具体涉及到圆的简单性质、抛物线的简单性质、配方法等基本知识点，解题时要认真审题，仔细解答．