题目内容

已知函数f（x）=2sinx+cosx，且g（x）=f（x）•（f′（x）+7sinx）
（1）当x∈[0， $数学公式$ ]时，函数g（x）的值域；
（2）已知∠A是△ABC的最大内角，且g（A）=12，求∠A．

解：（1）∵f′（x）=2cosx-sinx…1分
∴g（x）=（2sinx+cosx）（2cosx-sinx+7sinx）
=10sin²x+10sinxcosx+2
=5 $\text{[math]}$ sin（2x- $\text{[math]}$ ）+7…4分
又x∈[0， $\text{[math]}$ ]时，2x- $\text{[math]}$ ∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，sin（2x- $\text{[math]}$ ）∈[- $\text{[math]}$ ，1]，
∴g（x）∈[2，7+5 $\text{[math]}$ ]…8分
（2）g（A）=12?sin（2A- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，…10分
∵∠A是△ABC的最大内角，∴A∈[ $\text{[math]}$ ，π]，2A- $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，
∴2A- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ （舍），…13分
解得A= $\text{[math]}$ …14分
分析：（1）f′（x）=2cosx-sinx，g（x）=（2sinx+cosx）（2cosx-sinx+7sinx）=5 $\text{[math]}$ sin（2x- $\text{[math]}$ ）+7，结合x∈[0， $\text{[math]}$ ]，可求函数g（x）的值域；
（2）由g（A）=12，可得sin（2A- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，∠A是△ABC的最大内角，从而可求2A- $\text{[math]}$ 的范围，继而可求∠A．
点评：本题考查三角函数的化简求值，着重考查正弦函数的定义域和值域，难点在于根据三角函数的值求角（要注意角的范围），属于中档题．