Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（a-b） cosC=c（cosB-cos A）．
（I）判断△ABC的形状；
（II）求y=cosA+sin（B+

π

6

）的最大值，并求y取得最大值时角C的大小．

Answer 1

分析：（I）在△ABC中，由条件利用正弦定理可得sinB=sinA，故有a=b，故△ABC为等腰三角形．
（II）由（I）可得A=B∈（0，

π

2

），化简函数 y 的解析式为

3

sin（A+

π

3

），故当 A+

π

3

=

π

2

 时，y_max=

3

，易得此时角C的大小．

解答：解：（I）在△ABC中，∵（a-b） cosC=c（cosB-cos A），由正弦定理可得 （sinA-sinB） cosC=sinC（cosB-cos A），
化简可得 sin（A+C）=sin（B+C），
∴sinB=sinA，由正弦定理可得 a=b，故△ABC为等腰三角形．
（II）由（I）可得A=B∈（0，

π

2

），由于 y=cosA+sin（B+

π

6

）=cosA+

3

2

sinA+

1

2

sinA=

3

2

cosA+

3

2

sinA=

3

sin（A+

π

3

），
故当 A+

π

3

=

π

2

，即 A=

π

6

=B时，y_max=

3

，此时，C=π-（A+B）=

2π

3

．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、正弦定理的应用，求三角函数的最值，属于中档题．