Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，F₁，F₂是左右焦点，l是右准线，若椭圆上存在点P，使|PF₁|是P到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：设点P到直线l的距离为d，根据椭圆的定义可知|PF₂|比d的值等于c比a的值，由题意知|PF₁|等于2d，且|PF₁|+|PF₂|=2a，联立化简得到：|PF₁|等于一个关于a与c的关系式，又|PF₁|大于等于a-c，小于等于a+c，列出关于a与c的不等式，求出不等式的解集即可得到

c

a

的范围，即为离心率e的范围，同时考虑e小于1，从而得到此椭圆离心率的范围．

解答：解：设P到直线l的距离为d，
根据椭圆的第二定义得

|PF2|

d

=e=

c

a

，|PF₁|=2d，且|PF₁|+|PF₂|=2a，
则|PF₁|=2a-|PF₂|=2a-

dc

a

=2d，即d=

2a2

2a+c

，
而|PF₁|∈（a-c，a+c]，即2d=

4a2

2a+c

，
所以得到

4a2 2a+c ≥a-c① 4a2 2a+c ≤a+c②

，由①得：(

c

a

)2+

c

a

+2≥0，

c

a

为任意实数；
由②得：(

c

a

)2+3

c

a

-2≥0，解得

c

a

≥

-3+ 17

2

或

c

a

≤

-3- 17

2

（舍去），
所以不等式的解集为：

c

a

≥

-3+ 17

2

，即离心率e≥

-3+ 17

2

，又e＜1，
所以椭圆离心率的取值范围是[

-3+ 17

2

，1）．
故答案为：[

-3+ 17

2

，1）

点评：此题考查学生掌握椭圆的定义及椭圆简单性质的运用，是一道中档题．