Question

已知函数f(x)=

2x-1

mx+1

（x∈R），且f(3)=

7

9

．
（1）判断函数y=f（x）在R上的单调性，并给出证明；
（2）若f（2×3^x-2）＞f（7-3^x），求x的取值范围．

Answer 1

（1）由已知得

23-1

m3+1

=

7

9

，m³=8，∴m=2…（3分）
∴f(x)=

2x-1

2x+1

=

2x+1-2

2x+1

=1-

2

2x+1

任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂…（4分）
则f(x2)-f(x1)=1-

2

2x2+1

-(1-

2

2x1+1

)…（6分）
=

2

2x1+1

-

2

2x2+1

=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

…（8分）
∵(2x1+1)＞0，(2x2+1)＞0，∴(2x1+1)(2x2+1)＞0
又∵x₂＞x₁，∴2x2＞2x1，∴2x2-2x1＞0…（10分）
∴

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，f（x₂）＞f（x₁）
∴函数y=f（x）在R上为单调增函数．                       …（12分）
（2）∵f（2×3^x-2）＞f（7-3^x），
由（1）知函数y=f（x）在R上为单调增函数，
∴2×3^x-2＞7-3^x，…（14分）
化简得3^x＞3，…（15分）
∴x＞1，∴不等式f（2×3^x-2）＞f（7-3^x）的解集为（1，+∞）．   …（16分）