Question

已知函数f(x)=x+

2

x

，x≠0
（1）用定义证明函数为奇函数；
（2）用定义证明函数在（0，

2

）上单调递减，在（

2

，+∞）上单调递增；
（3）求函数在[1，4]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由函数的定义域关于原点对称，对任意的非零实数x，都有 f（-x）=-f（x），即可证明函数为奇函数．
 （2）设 0＜x₁＜x₂＜

2

，化简f（x₁）-f（x₂） 的解析式为（x₁-x₂） （1-

2

x1•x2

 ）＞0，可得函数在
（0，

2

）上单调递减，同理可证函数在（

2

，+∞）上单调递增．
（3）由于函数在（1，

2

）上单调递减，在[

2

，4]上单调递增，故当x=

2

时，函数有最小值等于f(

2

)，
f（1）和f（4）中较大的就是函数在[1，4]上的最大值．

解答：解：（1）证明：∵函数的定义域关于原点对称，且函数f(x)=x+

2

x

，x≠0 满足
∴对任意的非零实数x，都有 f（-x）=-x+

2

-x

=-（x+

2

x

）=-f（x），
函数f(x)=x+

2

x

，x≠0是奇函数． （5分）
（2）设 0＜x₁＜x₂＜

2

，则 f（x₁）-f（x₂）=x1+

2

x1

-（x2+

2

x2

 ）
=（x₁-x₂）-

2(x1-x2)

x1•x2

=（x₁-x₂） （1-

2

x1•x2

 ）．
由0＜x₁＜x₂，可得（x₁-x₂）＜0，（1-

2

x1•x2

 ）＜0，
∴（x₁-x₂） （1-

2

x1•x2

 ）＞0，f（x₁）＞f（x₂），故函数在（0，

2

）上单调递减．
 设

2

＜x₁＜x₂，同理可得 f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂） （1-

2

x1•x2

 ），
由

2

＜x₁＜x₂，可得（x₁-x₂）＜0，（1-

2

x1•x2

 ）＞0，
∴（x₁-x₂） （1-

2

x1•x2

 ）＜0，f（x₁）＜f（x₂），故函数在（

2

，+∞）上单调递增．（10分）
（3）由于函数在（1，

2

）上单调递减，在[

2

，4]上单调递增，
故当x=

2

时，函数有最小值等于f(

2

)=

2

+ 

2

2

=2

2

．
又 f（1）=1+2=3，f（4）=4+

2

4

=

9

2

，故函数在[1，4]上的最大值为

9

2

．（14分）

点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的证明，利用函数的单调性求函数在闭区间上的最值，属于基础题．