Question

6．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=a${\;}^{lg（{x}^{2}-2x+3）}$有最大值，则不等式log_a（x²-5x+7）＞0的解集为（2，3）．

Answer 1

分析 根据复合函数单调性的性质，求出0＜a＜1，结合对数函数的单调性解不等式即可．

解答 解：设t=lg（x²-2x+3）=lg[（x-1）²+2]≥lg2，
若a＞1，则f（x）≥a^lg2，此时函数有最小值，不满足条件．．
若0＜a＜1，则f（x）≤a^lg2，此时函数有最大值，满足条件．
则不等式log_a（x²-5x+7）＞0等价为0＜x²-5x+7＜1，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-5x+7＞0}\\{{x}^{2}-5x+6＜0}\end{array}\right.$，
则$\left\{\begin{array}{l}{x∈R}\\{2＜x＜3}\end{array}\right.$，
解得2＜x＜3，
即不等式的解集为（2，3），
故答案为：（2，3）

点评 本题主要考查不等式的求解，利用复合函数单调性的性质求出a的取值范围，结合对数函数的单调性是解决本题的关键．