题目内容
已知函数f(x)=
，规定：
=f(
)+f(
)+f(
)+…+f(
) (n，m∈N•)，且Snm=a1m+a2m+…+anm（n，m∈N•），则S20102010的值是
| x |
| 1+x |
| a | m n |
| 1 |
| n |
| 2 |
| n |
| 3 |
| n |
| m |
| n |
2020050
2020050
．分析：由题设知a1m=
+
+…+
，a2m=
+
+
+…+
，…anm=
+
+
+…+
，由此知S20102010=a12010+a22010+…+a20102010=（
+
+
+…+
）+（
+
+
+…+
）+…+（
+
+
+…+
），由此能求出其结果．
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| m |
| m+1 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| m |
| m+2 |
| 1 |
| n+1 |
| 2 |
| n+2 |
| 3 |
| n+3 |
| m |
| n+m |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 2010 |
| 2011 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 2011 |
| 2012 |
| 1 |
| 2011 |
| 2 |
| 2012 |
| 3 |
| 2013 |
| 2010 |
| 4020 |
解答：解：∵函数f(x)=
，
=f(
)+f(
)+f(
)+…+f(
) (n，m∈N•)，
∴a1m=f（1）+f（2）+…+f（m）=
+
+…+
，
a2m=f（
）+f（1）+f（
）+…+f（
）=
+
+
+…+
=
+
+
+…+
，
…
anm=f（
）+f（
）+f（
）+…+f(
)=
+
+
+…+
=
+
+
+…+
，
∵Snm=a1m+a2m+…+anm（n，m∈N•），
∴S20102010=a12010+a22010+…+a20102010
=（
+
+
+…+
）+（
+
+
+…+
）+…+（
+
+
+…+
）
=2020050．
故答案为：2020050．
| x |
| 1+x |
| a | m n |
| 1 |
| n |
| 2 |
| n |
| 3 |
| n |
| m |
| n |
∴a1m=f（1）+f（2）+…+f（m）=
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| m |
| m+1 |
a2m=f（
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| m |
| 2 |
| ||
1+
|
| 1 |
| 2 |
| ||
1+
|
| ||
1+
|
=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| m |
| m+2 |
…
anm=f（
| 1 |
| n |
| 2 |
| n |
| 3 |
| n |
| m |
| n |
| ||
1+
|
| ||
1+
|
| ||
1+
|
| ||
1+
|
=
| 1 |
| n+1 |
| 2 |
| n+2 |
| 3 |
| n+3 |
| m |
| n+m |
∵Snm=a1m+a2m+…+anm（n，m∈N•），
∴S20102010=a12010+a22010+…+a20102010
=（
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 2010 |
| 2011 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 2011 |
| 2012 |
| 1 |
| 2011 |
| 2 |
| 2012 |
| 3 |
| 2013 |
| 2010 |
| 4020 |
=2020050．
故答案为：2020050．
点评：本题考查数列和函数的综合运用，解题时要认真审题，寻找规律，注意合理地进行等价转化．
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