题目内容

如图，已知椭圆 $数学公式$ （a＞b＞0）的离心率为 $数学公式$ ，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，B为椭圆的上顶点且△BF₁F₂的周长为4+2 $数学公式$ ．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在这样的直线使得直线l与椭圆交于M，N两点，且椭圆右焦点F₂恰为△BMN的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明由..

解：（1）∵椭圆 $\text{[math]}$ （a＞b＞0）的离心率为 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ①
∵△BF₁F₂的周长为4+2 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ②
由①②可得 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∴椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ；
（2）假设存在直线使得直线l与椭圆交于M，N两点，且椭圆右焦点F₂恰为△BMN的垂心
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∵B（0，1），F₂（ $\text{[math]}$ ，0），∴k_MF2=- $\text{[math]}$ ，∴k_MN= $\text{[math]}$
设l的方程为y= $\text{[math]}$ ，代入 $\text{[math]}$ 消元可得13x²+8 $\text{[math]}$ mx+4（m²-1）=0
∴x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ③
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =4x₁x₂+ $\text{[math]}$ ④
③代入④，可得4× $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
∴（m-1）（5m+16）=0
∴m=1，或m=- $\text{[math]}$
经检验，当m=1时直线l经过点B，不能构成三角形，故舍去
∴存在直线l： $\text{[math]}$ 满足条件．
分析：（1）根据椭圆 $\text{[math]}$ （a＞b＞0）的离心率为 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ，利用△BF₁F₂的周长为4+2 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ，由此可求椭圆的方程；
（2）假设存在直线使得直线l与椭圆交于M，N两点，且椭圆右焦点F₂恰为△BMN的垂心，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），确定k_MN= $\text{[math]}$ 设l的方程为y= $\text{[math]}$ ，代入 $\text{[math]}$ ，利用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，即可求得满足条件的直线l的方程．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程，利用数量积为0是解题的关键．