题目内容
设定义在R上的函数f（x）=5x+sinx，则不等式f （x-1）+f （1-x2）＜0的解集为________．
（-∞，0）∪（1，+∞）
分析：根据函数奇偶性的定义，证出f（x）是定义在R上的奇函数．再由导数恒大于0，得到f（x）是定义在R上的增函数．由此将不等式f （x-1）+f （1-x2）＜0等价转化为x-1＜x2-1，解之即可得到原不等式的解集．
解答：∵函数解析式为f（x）=5x+sinx，
∴f（-x）=-5x+sin（-x）=-（5x+sinx）=-f（x），
因此函数是定义在R上的奇函数
又∵函数f（x）导数f'（x）=5+cosx＞0恒成立
∴函数f（x）是定义在R上的增函数
因此不等式f （x-1）+f （1-x2）＜0，即f （x-1）＜-f （1-x2）=f（x2-1）
可得x-1＜x2-1，解之得x＜0或x＞1
∴原不等式的解集为（-∞，0）∪（1，+∞）
故答案为：（-∞，0）∪（1，+∞）
点评：本题给出函数f（x）=5x+sinx，要求我们利用单调性和奇偶性解关于x的不等式f （x-1）+f （1-x2）＜0，着重考查了函数的基本性质、利用导数研究函数的单调性和一无二次不等式的解法等知识，属于基础题．
分析：根据函数奇偶性的定义，证出f（x）是定义在R上的奇函数．再由导数恒大于0，得到f（x）是定义在R上的增函数．由此将不等式f （x-1）+f （1-x2）＜0等价转化为x-1＜x2-1，解之即可得到原不等式的解集．
解答：∵函数解析式为f（x）=5x+sinx，
∴f（-x）=-5x+sin（-x）=-（5x+sinx）=-f（x），
因此函数是定义在R上的奇函数
又∵函数f（x）导数f'（x）=5+cosx＞0恒成立
∴函数f（x）是定义在R上的增函数
因此不等式f （x-1）+f （1-x2）＜0，即f （x-1）＜-f （1-x2）=f（x2-1）
可得x-1＜x2-1，解之得x＜0或x＞1
∴原不等式的解集为（-∞，0）∪（1，+∞）
故答案为：（-∞，0）∪（1，+∞）
点评：本题给出函数f（x）=5x+sinx，要求我们利用单调性和奇偶性解关于x的不等式f （x-1）+f （1-x2）＜0，着重考查了函数的基本性质、利用导数研究函数的单调性和一无二次不等式的解法等知识，属于基础题．
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+m（其中e=2.71828…是自然对数的底数，m是常数）．记f（x）在区间[2013，2016]上的零点个数为n，则（ ）
| πx |
| 2 |
A、m=-
| ||
| B、m=1-e，n=5 | ||
C、m=-
| ||
| D、m=e-1，n=4 |