Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=

3

．
（Ⅰ）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；
（Ⅱ）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小；
（Ⅲ）求点D到平面SBC的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面SBC的法向量，平面SAD的法向量，然后利用空间向量数量积公式求面ASD与面BSC所成二面角的大小；
（Ⅱ）设棱SA的中点为M，直接求出异面直线DM与SB对应的向量，利用空间向量数量积求解异面直线DM与SB所成角的大小；
（Ⅲ）通过平面的法向量，利用

DB

在

n

上的射影公式，直接求点D到平面SBC的距离．

解答：（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）∵SD⊥底面ABCD，ABCD是正方形，∴CD⊥平面SAD，AD⊥平面SDC，
又在Rt△SDB中，SD=

SB2-BD2

=

3-2

=1．      …（1分）
以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系（如图），
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，1）．          …（2分）
设平面SBC的法向量为

n

1=(x，y，z)，则

n

1⊥

CB

，

n

1⊥

CS

，
∵

CB

=(1，0，0)，

CS

=(0，-1，1)，
∴

n 1• CB =x=0 n 1• CS =-y+z=0

，∴可取

n

1=(0，1，1)．            …（4分）
∵CD⊥平面SAD，∴平面SAD的法向量

n

2=(0，1，0)．     …（5分）
∴cos?

n

1，

n

2＞=

0×0+1×1+1×0

02+12+12 • 02+12+02

=

2

2

，
∴面ASD与面BSC所成二面角的大小为45°．             …（6分）
（Ⅱ）∵M(

1

2

，0，

1

2

)，∴

DM

=(

1

2

，0，

1

2

)，

SB

=(1，1，-1)，
又∵

DM

•

SB

=

1

2

×1+0×1+

1

2

×(-1)=0，∴DM⊥SB，
∴异面直线DM与SB所成角的大小为90°．             …（9分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）平面SBC的法向量为

n

=(0，1，1)，∵

DB

=(1，1，0)，
∴

DB

在

n

上的射影为d=

n • DB

| n |

=

0×1+1×1+1×0

02+12+12

=

2

2

，
∴点D到平面SBC的距离为

2

2

．                    …（12分）
（特别说明：用传统解法每问应同步给分）

点评：本题考查空间向量的数量积的应用，二面角的求法，异面直线所成角的求法，点到平面的距离公式的应用，考查空间想象能力与计算能力．