Question

（本小题满分14分）已知动圆与直线相切，且过定点F(1, 0)，动圆圆心为M．

（1）求点M的轨迹C的方程；

（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，且（O为坐标原点），求证：直线l过一定点．

 

Answer 1

【答案】

,直线AB过定点 (5, 0)．

【解析】解：（1）由已知，点M到直线的距离等于到点（1，0）的距离，所以点M是以F(1, 0)为焦点，以为准线的抛物线，焦点到准线的距离p = 2，       ．．．．．．．．2分

∴   点M的轨迹方程为．                           ．．．．．．．．．4分

（2）设，由可得：   ①

∵   A、B均在抛物线上，

∴    Þ       ②              

由①②可得：，

∴   或（舍去）．                      ．．．．．．．．．．．．．8分

再由相减得：，

若，则AB⊥x轴，，由①：，结合得：，

    ∴   此时AB的方程为．                       ．．．．．．．．．．．．．．9分

若，则，即为直线AB的斜率，而，则AB的方程为：

    ，                         ．．．．．．．．．．．．．11分

即  ，

    ∴   也过定点 (5, 0).              ．．．．．．．．．．．．．．．13分

综上得，直线AB过定点 (5, 0)．                        ．．．．．．．．．．．．．．．14分