Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y 2

b2

1（a＞b＞0）经过点M（1，

3

2

），F₁，F₂是椭圆C的两个焦点，且|MF₁|+|MF₂|=4．O为椭圆C的中心．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P，Q是椭圆C上不同的两点，且O为△MPQ的重心，试求△MPQ的面积．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的定义确定a的值，代入点M（1，

3

2

），求出b的值，从而可得椭圆C的方程；
（2）确定N的坐标，设出直线方程代入椭圆方程，求出直线方程，可得P，Q的坐标，即可求△MPQ的面积．

解答：解：（1）∵F₁，F₂是椭圆C的两个焦点，且|MF₁|+|MF₂|=4，
∴由椭圆的定义知2a=4，∴a=2，…（3分）
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y 2

b2

=1，
代入点M（1，

3

2

），得

1

4

+

9 4

b2

=1，∴b²=3   …（5分）
故椭圆C的方程为

x2

4

+

y 2

3

=1                                        …（6分）
（2）若O点为△MPQ的重心，设PQ的中点为N，则

MO

=2

ON

，∴N（-

1

2

，-

3

4

），…（8分）
显然直线PQ的斜率存在，不妨设为k，则方程为y+

3

4

=k（x+

1

2

）
代入椭圆方程，消去y得：（3+4k²）x²+k（4k-6）x+k2-3k-

39

4

=0①…（9分）
∵点N在椭圆内，△＞0恒成立，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=

k(4k-6)

3+4k2

，∴x_N=

k(4k-6)

2(3+4k2)

=-

1

2

∴k=-

1

2

，…（11分）
∴①式化简为x²+x-2=0，∴x=-2或x=1
不妨P（-2，0），Q（1，-

3

2

），由椭圆对称性知S_△MPQ=2×

1

2

×3×

3

2

=

9

2

．…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．