Question

【题目】平面直角坐标系中，圆方程为，点，直线过点

（1）如图1，直线的斜率为，直线交圆于不同两点，求弦的长度；

（2）动点在圆上作圆周运动，线段的中点为点，求点的轨迹方程；

（3）在（1）中，如图2，过点作直线，交圆于不同两点，证明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析．

【解析】

（1）求出直线的方程，再求出圆心到直线的距离，利用垂径定理可求弦的长．

（2）利用动点转移法可求的轨迹方程．

（3）设直线的方程为：，联立直线的方程和圆的方程，消元后利用韦达定理可证对任意的总成立，从而可证．

（1）直线的方程为即，

圆心到直线的距离为，故．

（2）设，则，

故，所以点的轨迹方程为．

（3）我们证明：为定值．

直线的斜率必存在．

设直线的方程为：，，

则．

由可得，

故，即．

所以

，

故对任意的总成立，又，

所以．