Question

【题目】已知函数与的定义域为，有下列5个命题：

①若，则的图象自身关于直线轴对称；

②与的图象关于直线对称；

③函数与的图象关于轴对称；

④为奇函数，且图象关于直线对称，则周期为2；

⑤为偶函数， 为奇函数，且，则周期为2.

其中正确命题的序号是____________.

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】对于①，令t=x2，则2x=t，

由于f(x2)=f(2x)，得f(t)=f(t)，所以函数f(x)是偶函数，

得f(x)的图象自身关于直线y轴对称，故①正确；

对于②，设f(m)=n，则函数y=f(x2)的图象经过点A(m+2,n)

而y=f(2x)的图象经过点B(m+2,n)，由于点A与点B是关于x=2对称的点，

故y=f(x2)与y=f(2x)的图象关于直线x=2对称

故②正确；

对于③，设F(x)=f(x+2)，则f(2x)=F(x)，由于F(x)与F(x)图象关于y轴对称，

所以函数y=f(x+2)与y=f(2x)的图象关于y轴对称，得③正确；

对于④，因为f(x)图象关于直线对称，所以f(x)=f(1+x)，

结合函数为奇函数，得f(x)=f(x)，故f(x+1)=f(x)

由此可得f(x+2)=f(x+1)=f(x)，得f(x)是周期为2的周期函数，故④正确；

对于⑤，f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且g(x)=f(x1)，

则由于g(x)+g(x)=0，得f(x1)+f(x1)=0，

又因为f(x1)=f(x+1)，所以f(x1)+f(x+1)=0，

由此可证出f(x+4)=f(x)，得f(x)是周期为4的周期函数，故⑤不正确

故答案为：①②③④