Question

过点（0，1）且与抛物线y²=4x只有一个公共点的直线有（　　）

A．1条

B．2条

C．3条

D．0条

Answer 1

分析：作出图形并加以观察，可得过点（0，1）与x轴平行的直线符合题意，另外还有抛物线的两条切线也符合题意，即存在3条直线满足过点（0，1）且与抛物线y²=4x只有一个公共点．再由点的坐标与抛物线的方程，结合直线的方程加以计算可得此3条直线的方程，从而得到答案．

解答：解：根据题意，可得
①当直线过点A（0，1）且与x轴平行时，方程为y=1，
与抛物线y²=4x只有一个公共点，坐标为（

1

4

，1）；
②当直线斜率不存在时，与抛物线y²=4x相切于原点，符合题意；
③当直线斜率存在时，设切线AB的方程为y=kx+1，
由

y=kx+1 y2=4x

消去y，得k²x²+（2k-4）x+1=0，
△=（2k-4）²-16=0，解得k=1，切线方程为y=x+1．
综上所述，存在三条直线：y=1、x=0和y=x+1满足过点（0，1）且与抛物线y²=4x只有一个公共点．
故选：C

点评：本题给出抛物线和定点，求经过定点与抛物线只有一个公共点的直线的条数．着重考查了抛物线的标准方程、直线的方程和直线与抛物线的关系等知识，属于中档题．