Question

如图,过抛物线y²=2px(p＞0)上一定点P(x₀,y₀)(y₀＞0),作两条直线分别交抛的线于A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂).

(1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离;

(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求的值,并证明直线AB的斜率是非零常数.

Answer 1

分析:(1)由抛物线的方程可算出其上纵坐标为的点的横坐标,再由抛物线的定义求出该点到焦点的距离.

(2)利用P、A、B三点的坐标可表示出直线PA、PB的斜率,因为倾斜角互补,所以斜率互为相反数,这样可以得出y₁+y₂与y₀的关系,再利用A、B两点的坐标表示出直线AB的斜率,利用y₁+y₂与y₀的关系可以求出直线AB的斜率.

解:(1)当y=时,x=.

∵抛物线y²=2px的准线方程为x=-,

∴由抛物线的定义得距离为-(-)=p.

(2)设直线PA的斜率为k_PA,直线PB的斜率为k_PB.

∵P、A两点在抛物线上,

∴y₀²=2px₀,y₁²=2px₁,

    两式相减得(y₁-y₀)(y₁+y₂)=2p(x₁-x₀).

    故k_PA==(x₁≠x₀).

    同理,可得k_AB=(x₂≠x₀).

    由直线PA、PB的倾斜角互补知k_PA=-k_PB,

    即=-,

∴y₁+y₂=-2y₀.

    故=-2.

    设直线AB的斜率为k_AB,

    由y₂²=2px₂,y₁²=2px₁,

     两式相减得(y₂-y₁)(y₂+y₁)=2p(x₂-x₁),

∴k_AB==(x₁≠x₂).

    将y₁+y₂=-2y₀(y₀＞0)代入,得k_AB==-,

∴k_AB是非零常数.