Question

（1）已知：a，b，x均是正数，且a＞b，求证：；
（2）当a，b，x均是正数，且a＜b，对真分数，给出类似上小题的结论，并予以证明；
（3）证明：△ABC中，（可直接应用第（1）、（2）小题结论）
（4）自己设计一道可直接应用第（1）、（2）小题结论的不等式证明题．

Answer 1

【答案】分析：（1）充分利用a＞b这个条件，结合不等式的基本性质即可证得；
（2）对（1）问的结论取倒数即可得；
（3）欲证原不等式，即证：利用放缩法进行证明即可；
（4）运用类比推理的方法得结论即可．
解答：解：（1）∵，
又（3分）
（2）∵，应用第（1）小题结论，
得，取倒数，得（6分）
（3）由正弦定理，原题?△ABC中，求证：
证明：由（2）的结论得，a，b，c＞0，
且均小于1，
∴，（10分）
（4）如得出：四边形ABCD中，求证：
如得出：凸n边形A₁A₂A₃┅A_n中，边长依次为a₁，a₂，，a_n，求证：
如得出：{a_n}为各项为正数的等差数列，（d≠0），
求证：．（14分）
点评：本题主要考查了不等式的证明、放缩法和类比思想，在证明不等式的时候，在直接证明遇到困难的时候，可以利用不等式的传递性，把要证明的不等式加强为一个易证的不等式，即欲证A＞B，我们可以适当的找一个中间量C作为媒介，证明A＞C且C＞B，从而得到A＞B．我们把这种把B放大到C（或把A缩小到C）的方法称为放缩法．