题目内容
（1）已知：a，b，x均是正数，且a＞b，求证：1＜| a+x |
| b+x |
| a |
| b |
（2）当a，b，x均是正数，且a＜b，对真分数
| a |
| b |
（3）证明：△ABC中，
| sinA |
| sinB+sinC |
| sinB |
| sinC+sinA |
| sinC |
| sinA+sinB |
（4）自己设计一道可直接应用第（1）、（2）小题结论的不等式证明题．
分析：（1）充分利用a＞b这个条件，结合不等式的基本性质即可证得；
（2）对（1）问的结论取倒数即可得；
（3）欲证原不等式，即证：
+
+
＜2.利用放缩法进行证明即可；
（4）运用类比推理的方法得结论即可．
（2）对（1）问的结论取倒数即可得；
（3）欲证原不等式，即证：
| a |
| b+c |
| b |
| c+a |
| c |
| a+b |
（4）运用类比推理的方法得结论即可．
解答：解：（1）∵a+x＞b+x＞0，∴1＜
，
又
-
=
＜0，∴1＜
＜
.（3分）
（2）∵a＜b，∴
＞1，应用第（1）小题结论，
得1＜
＜
，取倒数，得
＜
＜1.（6分）
（3）由正弦定理，原题?△ABC中，求证：
+
+
＜2.
证明：由（2）的结论得，a，b，c＞0，
且
，
，
均小于1，
∴
＜
，
＜
，
＜
，
+
+
＜
+
+
=2.（10分）
（4）如得出：四边形ABCD中，求证：
+
+
+
＜2.
如得出：凸n边形A1A2A3┅An中，边长依次为a1，a2，，an，求证：
+
++
＜2.
如得出：{an}为各项为正数的等差数列，（d≠0），
求证：
+
++
＜
+
++
．（14分）
| a+x |
| b+x |
又
| a+x |
| b+x |
| a |
| b |
| x(b-a) |
| b(b+x) |
| a+x |
| b+x |
| a |
| b |
（2）∵a＜b，∴
| b |
| a |
得1＜
| b+x |
| a+x |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b+x |
| a+x |
（3）由正弦定理，原题?△ABC中，求证：
| a |
| b+c |
| b |
| c+a |
| c |
| a+b |
证明：由（2）的结论得，a，b，c＞0，
且
| a |
| b+c |
| b |
| c+a |
| c |
| a+b |
∴
| a |
| b+c |
| 2a |
| a+b+c |
| b |
| c+a |
| 2b |
| a+b+c |
| c |
| a+b |
| 2c |
| a+b+c |
| a |
| b+c |
| b |
| c+a |
| c |
| a+b |
| 2a |
| a+b+c |
| 2b |
| a+b+c |
| 2c |
| a+b+c |
（4）如得出：四边形ABCD中，求证：
| a |
| b+c+d |
| b |
| c+d+a |
| c |
| a+b+d |
| d |
| a+b+c |
如得出：凸n边形A1A2A3┅An中，边长依次为a1，a2，，an，求证：
| a1 |
| a2+a3++an |
| a2 |
| a1+a3++an |
| an |
| a1+a2++an-1 |
如得出：{an}为各项为正数的等差数列，（d≠0），
求证：
| a1 |
| a2 |
| a2 |
| a3 |
| a2n-1 |
| a2n |
| a2 |
| a3 |
| a4 |
| a5 |
| a2n |
| a2n+1 |
点评：本题主要考查了不等式的证明、放缩法和类比思想，在证明不等式的时候，在直接证明遇到困难的时候，可以利用不等式的传递性，把要证明的不等式加强为一个易证的不等式，即欲证A＞B，我们可以适当的找一个中间量C作为媒介，证明A＞C且C＞B，从而得到A＞B．我们把这种把B放大到C（或把A缩小到C）的方法称为放缩法．
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