Question

（理）方程sinx+xcosx=0的正根从小到大地依次排列为a₁，a₂，…，a_n，…，则
（1）0＜an+1-a n＜

π

2

（2）2a_n+1＜a_n+2+a_n
（3）2a_n+1=a_n+2+a_n
（4）2a_n+1＞a_n+2+a_n
正确的结论为

（2）

．

Answer 1

分析：把方程sinx+xcosx=0可变为tanx+x=0，分别作出函数y₁=-x，y₂=tanx的图象，则方程的根为两图象交点的横坐标，根据图象可得结论．

解答：解：方程sinx+xcosx=0可变为tanx+x=0，
分别作出函数y₁=-x，y₂=tanx的图象，
如下图所示：
则a₁，a₂，…，a_n，…，为y=-x与y=tanx图象在y轴右侧的交点横坐标，
则在每一个周期π内，y₁，y₂都有一个交点，
在x＞0为正根，交点都位于使tanx为负数的半周期内，
因此有：

π

2

＜a_n+1-a_n＜π，故A错；
交点的值越来越趋于负无穷大，越来越接近x=kπ+

π

2

（k∈Z）的垂直渐近线，
即相邻交点的距离越来越大，最终接近于极限π，
这样有：a_n+2-a_n+1＞a_n+1-a_n，
即2a_n+1＜a_n+2+a_n，
故答案为：（2）

点评：本题三角函数的图象及其应用，考查方程根的个数问题，考查数形结合思想，考查学生灵活运用知识分析解决问题的能力．