Question

如图，已知AB圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG．
（Ⅰ）求证：C是劣弧BD的中点；
（Ⅱ）求证：BF=FG．

Answer 1

分析：（I）要证明C是劣弧BD的中点，即证明弧BC与弧CD相等，即证明∠CAB=∠DAC，根据已知中CF=FG，AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，我们易根据同角的余角相等，得到结论．
（II）由已知及（I）的结论，我们易证明△BFC及△GFC均为等腰三角形，即CF=BF，CF=GF，进而得到结论．

解答：解：（I）∵CF=FG
∴∠CGF=∠FCG
∴AB圆O的直径
∴∠ACB=∠ADB=

π

2

∵CE⊥AB
∴∠CEA=

π

2

∵∠CBA=

π

2

-∠CAB，∠ACE=

π

2

-∠CAB
∴∠CBA=∠ACE
∵∠CGF=∠DGA
∴∠DGA=∠ABC∴

π

2

-∠DGA=

π

2

-∠ABC
∴∠CAB=∠DAC
∴C为劣弧BD的中点（5分）
（II）∵∠GBC=

π

2

-∠CGB，∠FCB=

π

2

-∠GCF
∴∠GBC=∠FCB
∴CF=FB
同理可证：CF=GF
∴BF=FG（10分）

点评：本题考查的知识点圆周角定理及其推理，同（等）角的余角相等，其中根据AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，找出要证明相等的角所在的直角三角形，是解答本题的关键．