题目内容
已知函数f(x)=ex-x-1(x＞0),g(x)=
·ex(x＞0).(1)求证:当a≥1时对于任意正实数x,f(x)的图象总不会在g(x)的图象的上方;
(2)对于在(0,1)上的任意a值,问是否存在正实数x使得f(x)＞g(x)成立?如果存在,求出符合条件的x的一个取值;否则,请说明理由.
(1)证明:在x＞0时,要证f(x)的图象总不会在g(x)的图象的上方,
即证f(x)≤g(x)成立;要证ex-x-1≤·ex成立;只需证ex≤
·ex+x+1,即需证1≤
+
.①
令y(x)=
+
,∴y′(x)=ax+
=ax+
.
∴y′(x)=x(a
).
又∵a≥1,x＞0,故y′(x)≥0.
∴y(x)是增函数,故y(x)≥y(0)=1,从而①式成立.
∴f(x)≤g(x)成立;
所以当a≥1时对于任意正实数x,f(x)的图象总不会在g(x)的图象的上方.
(2)解:将f(x)＞g(x)(x＞0),即ex-x-1＞
·ex,
变形为
+
-1＜0.②
要找一个x＞0,使得②式成立,只需找到函数t(x)=
+
-1的最小值,满足t(x)min＜0即可,对于t(x)求导数t′(x)=x(a
).
令t′(x)=0得ex=
,则x=-lna.在0＜x＜-lna时,t′(x)＜0;
在x＞-lna时,t′(x)＞0;t(x)在x=-lna时,取最小值.t(-lna)=
(lna)2+a(-lna+1)-1,
下面只需证明
(lna)2+a(-lna+1)-1＜0在0＜a＜1时恒成立即可.
又令p(a)=
(lna)2+a(-lna+1)-1,对p(a)关于a求导数,则p′(a)=
(lna)2≥0,
从而p(a)为增函数,则p(a)＜p(1)=0,从而
(lna)2+a(-lna+1)-1＜0(0＜a＜1),
于是t(x)的最小值t(-lna)＜0,因此可以找到一个常数x=-lna(0＜a＜1)使得②式成立.
