Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长均为1，M为棱A₁B₁上的点，N为棱BB₁的中点，异面直线AM与CN所成角的大小为arccos

2

5

，求

|A1M|

|MB1|

的值．

Answer 1

分析：建立空间直角坐标系，设出M、的坐标，求出

AM

，

CN

，利用向量的数量积，求出M的位置，然后求

|A1M|

|MB1|

的值．

解答：解：如图建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），C（0，1，0），M（1，a，1），
N(1，1，

1

2

)

AM

=（0，a，1），

CN

=（1，0，

1

2

）（其中a＞0）（4分）
设向量

AM

、

CN

的夹角为θ，
则cosθ=

AM • CN

| AM |•| CN |

=

1 2

1+a2 • 1+( 1 2 )2

=

2

5

，
?1+a2=

5

4

，∴a=

1

2

（10分）
或cosθ=

AM • CN

| AM |•| CN |

=

1 2

1+a2 • 1+( 1 2 )2

=-

2

5

，无解；（12分）
所以当a=

1

2

时，

|A1M|

|MB1|

=1（14分）

点评：本题考查直线与直线的位置关系，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题．