Question

设F₁，F₂分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点．
（1）设椭圆C上的点A（1，

3

2

）到F₁、F₂两点距离之和等于4，求椭圆C的方程和离心率；
（2）设PQ是（1）中所得椭圆过左焦点的动弦，求弦PQ中点M到右准线近距离的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把已知点的坐标代入椭圆方程，再由椭圆的定义知2a=4，从而求出椭圆的方程，由椭圆的方程求出离心率．
（2）设M（x，y），P（ x₁，y₁ ），Q（x₂，y₂ ），直线PQ方程为 y=k（x+1），然后表示出弦PQ中点M到右准线距离关于k的函数，求出取值范围，再考虑斜率不存在时中点到右准线的距离，即可求出所求．

解答：解：（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F₁、F₂两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2
又点A（1，

3

2

）在椭圆上，因此

1

22

+

( 3 2 )2

b2

=1得b²=3，于是c²=1
所以椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，离心率e=

1

2

；
（2）设M（x，y），P（ x₁，y₁ ），Q（x₂，y₂ ），直线PQ方程为 y=k（x+1），右准线方程为x=4
由

y=k(x+1) x2 4 + y2 3 = 1

消y得：（3+4k²）x²+8k² x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=

-8k2

3+4k2

，因为M是AB中点，有 x=

x1+x2

2

，
∴x=

-4k2

3+4k2

∴弦PQ中点M到右准线距离为4-

-4k2

3+4k2

∈[4，5）
当直线PQ的斜率k不存在时，PQ⊥x轴，AB中点M 的坐标为（-1，0），M到右准线距离为5，
∴弦PQ中点M到右准线近距离的取值范围为[4，5]．

点评：本题主要考查椭圆的简单性质、线段的中点公式，以及求函数的值域，属于中档题．