Question

已知定义在R上的函数f(x)满足：对于任意实数x，y，恒有f(x-y)=，且当x＞0时，0＜f(x)＜1．

(1)求证：f(0)=1，且当x＜0时，有f(x)＞1；

(2)试判断函数f(x)在R上的单调性，并证明你的结论；

(3)若实数x、y，满足：f[(x-2)²]·f[(y-2)²]≥f(2)，且f(x+y-4)≤1，求z=x+y的取值范围．

Answer 1

答案：(1)∵f(x-x)==1，∴f(0)=1

设x＜0，则-x＞0，0＜f(-x)＜1

f(x)=f[0-(-x)]=＞1．

(2)设-∞＜x₁＜x₂＜+∞，

则x₂-x₁＞0，0＜f(x₂-x₁)＜1

f(x₁)=f[x₂-(x₂-x₁)]=＞f(x₂)

∵f(x₂)＞0

∴f(x)在R上单调递减．

(3)∵f(x-y)·f(y)=f(x)

∴f(x)·f(y)=f(x+Y)

∴f[(x-2)²]·f[(y-2)²]

=f[(x-2)²+(y-2)²]≥f(2)

∴(x-2)²+(y-2)²≤2                                                           ①

又f(x+y-4)≤1=f(0)

∴x+y-4≥0                                                                 ②

∴z∈[4，6](可作图求解)．