Question

已知函数f（x）=

1

2

-

1

2x+1

．
（1）证明函数f（x）是奇函数；
（2）证明函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（3）若f（b-2）+f（2b-2）＞0，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）的解析式求得它的定义域关于原点对称，且f（-x）=-f（x），从而可得函数f（x）为奇函数．
（2）任意取x₁＜x₂，计算f（x₁）-f（x₂）＜0，可得函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．不等式即f（b-2）＞f（2-2b），故有b-2＞2-2b，由此求得实数b的取值范围．

解答：解：（1）证明：由函数f（x）=

1

2

-

1

2x+1

，可得它的定义域为R，关于原点对称，
且f（-x）=

1

2

-

1

2-x+1

=

1

2

-

2x

1+2x

=

1

2

-（

1+2x-1

1+2x

）=-

1

2

-

1

1+2x

=-f（x），
故函数f（x）为奇函数．
（2）任意取x₁＜x₂，由于f（x₁）-f（x₂）=（

1

2

-

1

2x1+1

）-（

1

2

-

1

2x2+1

）
=

1

2x2+1

-

1

2x1+1

=

2x1-2x2

( 2 x1+1)(2x2+1)

 
由题设可得2x1＜2x2，（2x1+1）＞0，（2x2+1）＞0，
∴

2x1-2x2

( 2 x1+1)(2x2+1)

＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
由（3）f（b-2）+f（2b-2）＞0，可得 f（b-2）＞f（2-2b），
∴b-2＞2-2b，解得 b＞

4

3

，即实数b的取值范围为（

4

3

，+∞）．

点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性定义以及证明方法，利用函数的奇偶性、单调性解不等式，属于中档题．