题目内容

已知曲线y=x³+3x，
（1）求这条曲线平行于直线y=15x+3的切线方程；
（2）求过（0，2）的这条曲线切线方程．

解：（1）设切点为P（x₀，y₀），∵y^′=3x²+3，∴切线的斜率为 $\text{[math]}$ ．
∵切线平行于直线y=15x+3，∴ $\text{[math]}$ =15，解得x₀=±2．
∴切点为（2，14）或（-2，-14）．
∴切线方程为y-14=15（x-2）或y+14=15（x+2），即15x-y-16=0或15x-y+16=0．
（2）设切点为P（x₀，y₀），∵y^′=3x²+3，∴切线的斜率为 $\text{[math]}$ ．
∴切线方程为 $\text{[math]}$ ，
∵切线过（0，2），∴ $\text{[math]}$ ，
化为 $\text{[math]}$ ，解得x₀=-1．
∴切线方程为y+4=6（x+1），化为6x-y+2=0．
分析：（1）利用导数的几何意义和相互平行的直线的斜率相等即可得出；
（2）设切点为P（x₀，y₀），由y^′=3x²+3，可得切线的斜率为 $\text{[math]}$ ，进而可得切线的方程，把点（0，2）代人即可得到．
点评：熟练掌握利用导数的几何意义和切线的方程是解题的关键．